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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
7.
Dar una ecuación vectorial y una ecuación implícita para el plano que:
a) pasa por los puntos $(2,1,2),(1,1,1)$ y $(3,2,7)$.
a) pasa por los puntos $(2,1,2),(1,1,1)$ y $(3,2,7)$.
Respuesta
Como vimos en las clases, podemos construirnos las ecuaciones de este plano conociendo un punto de paso + dos vectores paralelos al plano (y que no sean paralelos entre sí)
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En este caso sabemos que el plano contiene estos tres puntos (les voy a poner nombre a cada uno)
-> $P_1 = (2,1,2)$, $P_2 = (1,1,1)$ y $P_3 = (3,2,7)$
Arrancamos construyendo dos vectores paralelos al plano restando los puntos. Yo voy a elegir hacer $P_2 - P_1$ y $P_3 - P_1$
$\vec{v_1} = P_2 - P_1 = (1,1,1) - (2,1,2) = (-1,0,-1)$
$\vec{v_2} = P_3 - P_1 = (3,2,7) - (2,1,2) = (1,1,5)$
Aclaro por las dudas, vos podrías haber elegido otra combinación y no pasa nada, al final deberíamos llegar al mismo plano :)
Yo voy a elegir $P_1=(2,1,2)$ como punto de paso, entonces la ecuación vectorial me queda así...
👉 $X = \lambda(-1,0,-1) + \mu(1,1,5) + (2,1,2)$
Ahora, vamos a construir la ecuación implícita del plano $\Pi$.
Hacemos el producto vectorial entre los dos vectores directores que encontramos recién:
$N = (-1,0,-1) \times (1,1,5) = (1,4,-1)$
Con lo cual, la ecuación implícita empieza a tomar esta forma:
$x + 4y - z = d$
Para obtener $d$, pedimos que uno de los puntos, por ejemplo $P_1=(2,1,2)$, pertenezca al plano:
$2 + 4 \cdot 1 - 2 = d$
$4 = d$
La ecuación implícita de $\Pi$ es entonces...
👉 $x + 4y - z = 4$
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